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Calcul intégral
Savoir définir l'intégrale d'une fonction continue sur un segment, la calculer à l'aide d'une primitive ou d'une intégration par parties, et l'utiliser pour comparer, encadrer, calculer une aire ou une valeur moyenne.
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Ce que dit la fiche
Les points essentiels
- Définition dans le cas positif : si f est continue et positive sur un segment [a ; b], l'intégrale de a à b de f est l'aire de la région sous la courbe de f. Notation : ∫ₐᵇ f(x) dx.
- Théorème : si f est continue et positive sur [a ; b], la fonction Fₐ définie par Fₐ(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.
- Relation de calcul : si F est une primitive quelconque de f, alors ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Notation : [F(x)]ₐᵇ.
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
- Si f est continue et de signe quelconque sur un intervalle contenant a et b, l'intégrale de a à b de f est définie par F(b) − F(a), où F est une primitive quelconque de f.
- Linéarité : pour tous réels α et β, ∫ₐᵇ (αf(x) + βg(x)) dx = α∫ₐᵇ f(x) dx + β∫ₐᵇ g(x) dx.
- Positivité et intégration des inégalités : si a ≤ b et si f ≤ g sur [a ; b], alors ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx.
- Relation de Chasles : ∫ₐᶜ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx.
- Valeur moyenne de f sur [a ; b] avec a < b : m = (1/(b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx.
- Intégration par parties : si u et v sont dérivables à dérivées continues, ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx = [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx.
Les mots à connaître
- Primitive
- Une fonction F est une primitive de f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si F′(x) = f(x) pour tout x de I.
- Intégrale d'une fonction continue positive
- Pour f continue et positive sur [a ; b], ∫ₐᵇ f(x) dx est l'aire, exprimée en unités d'aire, de la région limitée par la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = a et x = b.
- Valeur moyenne
- La valeur moyenne de f sur [a ; b], avec a < b, est le réel m = (1/(b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx.
- Intégration par parties
- Méthode de calcul qui transforme l'intégrale ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx en [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx.
La méthode, étape par étape
- Méthode 1 — Calculer ∫ₐᵇ f(x) dx à l'aide d'une primitive.
- Étape 1 : vérifier que f est continue sur le segment [a ; b].
- Étape 2 : déterminer une primitive F de f sur cet intervalle.
- Étape 3 : calculer F(b) − F(a) et conclure.
- Méthode 2 — Calculer une intégrale par intégration par parties.
- Étape 1 : écrire l'intégrale sous la forme ∫ₐᵇ u′(x)v(x) dx en choisissant la fonction u′ facile à primitiver et la fonction v facile à dériver.
- Étape 2 : calculer une primitive u de u′ et la dérivée v′ de v.
- Étape 3 : appliquer [u(x)v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u(x)v′(x) dx, puis terminer le calcul de la nouvelle intégrale.
Des exemples résolus
Calcule ∫₀¹ (x² + 1) dx.
Correction
La fonction f(x) = x² + 1 est continue sur [0 ; 1]. Une primitive est F(x) = x³/3 + x. Donc ∫₀¹ (x² + 1) dx = F(1) − F(0) = (1/3 + 1) − 0 = 4/3.
Calcule ∫₁ᵉ ln(x) dx.
Correction
La fonction ln est continue sur [1 ; e]. On pose u′(x) = 1 et v(x) = ln(x), donc u(x) = x et v′(x) = 1/x. Par intégration par parties : ∫₁ᵉ ln(x) dx = [x ln(x)]₁ᵉ − ∫₁ᵉ x × (1/x) dx = (e × 1 − 1 × 0) − ∫₁ᵉ 1 dx = e − (e − 1) = 1.
Calcule la valeur moyenne de f(x) = x sur [0 ; 2].
Correction
m = (1/(2 − 0)) × ∫₀² x dx. Une primitive de x est x²/2, donc ∫₀² x dx = 2²/2 − 0 = 2. Ainsi m = (1/2) × 2 = 1.
Les pièges à éviter
- Écrire F(a) − F(b) au lieu de F(b) − F(a). Pour ∫₀¹ (x² + 1) dx, le calcul inversé donne −4/3, résultat faux car l'intégrale d'une fonction positive sur [0 ; 1] est positive.
- Appliquer l'inégalité ∫ₐᵇ f(x) dx ≤ ∫ₐᵇ g(x) dx sans vérifier que a ≤ b. Dans cette écriture, les bornes sont ordonnées ; dans le cas contraire, l'inégalité change de sens.
- Confondre la fonction f et sa primitive F dans la relation ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Le calcul utilise les valeurs de F aux bornes, jamais celles de f.
Teste-toi
Énonce la relation qui permet de calculer ∫ₐᵇ f(x) dx à partir d'une primitive F de f continue sur [a ; b].
Voir la réponse
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), où F est une primitive quelconque de f.
Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une constante. Cette constante s'élimine dans la soustraction F(b) − F(a), donc le résultat ne dépend pas de la primitive choisie.
Calcule ∫₀¹ 3x² dx.
Voir la réponse
1
La fonction 3x² est continue sur [0 ; 1]. Une primitive est x³, car la dérivée de x³ est 3x². Donc ∫₀¹ 3x² dx = 1³ − 0³ = 1.
Calcule la valeur moyenne de f(x) = x sur [0 ; 2].
Voir la réponse
1
On applique m = (1/(b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx avec a = 0 et b = 2. Une primitive de x est x²/2, donc ∫₀² x dx = 2²/2 − 0 = 2. Ainsi m = (1/2) × 2 = 1.
Ce que tu vas découvrir
- Définition dans le cas positif : si f est continue et positive sur un segment [a ; b], l'intégrale de a à b de f est l'aire de la région sous la courbe de f. Notation : ∫ₐᵇ f(x) dx.
- Théorème : si f est continue et positive sur [a ; b], la fonction Fₐ définie par Fₐ(x) = ∫ₐˣ f(t) dt est la primitive de f qui s'annule en a.
- Relation de calcul : si F est une primitive quelconque de f, alors ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Notation : [F(x)]ₐᵇ.
- Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
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